Question

在某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，一個(gè)口袋里裝有4個(gè)白球和4個(gè)黑球，所有球除顏色外無(wú)任何不同，每次從中摸出2個(gè)球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎(jiǎng)．
（1）求僅一次摸球中獎(jiǎng)的概率；
（2）求連續(xù)2次摸球，恰有一次不中獎(jiǎng)的概率；
（3）記連續(xù)3次摸球中獎(jiǎng)的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）利用每次從中摸出2個(gè)球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎(jiǎng)，可求僅一次摸球中獎(jiǎng)的概率；
（2）連續(xù)2次摸球，恰有一次不中獎(jiǎng)，可能第1次不中獎(jiǎng)，也可能第2次不中獎(jiǎng)，由此可求概率；
（3）確定連續(xù)3次摸球中獎(jiǎng)的次數(shù)ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）設(shè)僅一次摸球中獎(jiǎng)的概率為P₁，則P₁=

2 C 2 4

C 2 8

=

3

7

…（3分）
（2）設(shè)連續(xù)2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中獎(jiǎng)的概率為P₂，則
P₂=

C

1 2

(1-P1)P1=

24

49

…（7分）
（3）ξ的取值可以是0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

64

343

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(1-P1)2P1=

144

343

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(1-P1)P12=

108

343

，
P（ξ=3）=

P

3 1

=

27

343

所以ξ的分布列如下表

ξ	0	1	2	3
P	64 343	144 343	108 343	27 343

…（12分）
∴Eξ=0•

64

343

+1•

144

343

+2•

108

343

+3•

27

343

=

441

343

…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．