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4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e=2,過原點的直線l與雙曲線相交于A,B兩點,M為雙曲線上不同于A,B的點,且直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1•k2=3.

分析 由于A,B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點,得出A,B關(guān)于原點對稱,根據(jù)離心率求出a、b、c的關(guān)系,即可求出直線MA,MB的斜率乘積.

解答 解:根據(jù)雙曲線的對稱性可知A,B關(guān)于原點對稱,
設(shè)A(x1,y1),B(-x1,-y1),M(x,y),
x12a2-y122=1①,
x2a2-y22=1②,
x12x2a2=y12y22
y2y12x2x12=2a2;
又該雙曲線的離心率為e=ca=2,
a2+b2a2=1+2a2=4,
2a2=3,
∴k1•k2=y1yx1xy2yx2x=y1yx1xy1yx1x=y2y12x2x12=2a2=3.
故答案為:3.

點評 本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)與應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是設(shè)點代入化簡,應(yīng)注意雙曲線幾何量之間的關(guān)系,是綜合性題目.

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