Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是邊長為6的正三角形．求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：利用三棱錐的等體積法，求出三棱錐E-ABD的體積，再求出三棱錐A-BDE的底面BDE的面積，即可求出高h，它是點A到平面BDE的距離．

解答： 解：∵四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，
∴BD=

13

，
又∵BC=7，CD=6，∴BC²=BD²+CD²，∴BD⊥CD；
∵BE=7，DE=6，同理可得BD⊥DE；
又∵DE∩CD=D，DE?平面DEC，CD?平面DEC，
∴BD⊥平面DEC；
又∵BD?平面BDC，
∴平面DEC⊥平面BDC；
∴過E作EO⊥CD，垂足為O，∴EO⊥平面BCD，如圖所示；
∴EO是三棱錐E-ABD底面ABD上的高，
∴V_{三棱錐E-ABD}=

1

3

•

1

2

AB•AD•EO=

1

6

×2×3×

3

2

×6=3

3

；
設三棱錐A-BDE底面BDE上的高為h，
則V_{三棱錐A-BDE}=

1

3

×

1

2

×BD•DE•h=

1

6

×

13

×6h=

13

h；
∴

13

h=3

3

，
∴h=

3 39

13

；
即點A到平面BDE的距離是

3 39

13

．

點評：本題考查了求點到平面的距離的問題，解題時可以轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高的問題，解題的關鍵是求出三棱錐的體積，是中檔題．