【題目】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時,證明,,;
(2)若函數(shù)在上存在極值點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析:(2)
【解析】
(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.
(2) ,若函數(shù)在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點即可.
(1)證明:當(dāng)時,,則,
當(dāng)時,,則,又因為,
所以當(dāng)時,,僅時,,
所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.
(2),因為,所以,
①當(dāng)時,恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點.
②當(dāng)時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
因為.
當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點.
當(dāng)時,,所以存在,使
當(dāng)時,時,
所以在處取得極小值,為極小值點.
綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點,則實數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位,縱坐標(biāo)擴大到原來的2倍得到函數(shù)的圖象,則下列關(guān)于函數(shù)的命題中正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.在上是增函數(shù)D.當(dāng)時,函數(shù)的值域是
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打贏脫貧攻堅戰(zhàn),決定盤活貧困村的各項經(jīng)濟發(fā)展要素,實施了產(chǎn)業(yè)、創(chuàng)業(yè)、就業(yè)“三業(yè)并舉”工程.在實施過程中,引導(dǎo)某貧困村農(nóng)戶因地制宜開展種植某經(jīng)濟作物.該類經(jīng)濟作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,記其質(zhì)量指標(biāo)值為,其質(zhì)量指標(biāo)的等級劃分如下表1:
表1
質(zhì)量指標(biāo)值 | 產(chǎn)品等級 |
優(yōu)秀品 | |
良好品 | |
合格品 | |
不合格品 |
為了解該類經(jīng)濟作物在當(dāng)?shù)氐姆N植效益,當(dāng)?shù)匾N了甲、乙兩個品種.并隨機抽取了甲、乙兩個品種的各件產(chǎn)品,測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值頻率分布直方圖(圖1和圖2).
(1)若將頻率視為概率,從乙品種產(chǎn)品中有放回地隨機抽取件,記“抽出乙品種產(chǎn)品中至少件良好品或以上”為事件,求事件發(fā)生的概率;(結(jié)果保留小數(shù)點后位)(參考數(shù)值:,)
(2)若甲、乙兩個品種的銷售利潤率與質(zhì)量指標(biāo)值滿足表2
表2
質(zhì)量指標(biāo)值 | ||||
銷售利潤率 |
其中,試分析,從長期來看,種植甲、乙哪個品種的平均利潤率較大?
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【題目】程大位是明代著名數(shù)學(xué)家,他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.卷八中第33問:“今有三角果一垛,底闊每面七個.問該若干?”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數(shù)S為( )
A.28B.56C.84D.120
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【題目】已知函數(shù) (a為常數(shù))有兩個極值點.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.
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【題目】三個班共有名學(xué)生,為調(diào)查他們的上網(wǎng)情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的上網(wǎng)時長,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時):
班 | |
班 | |
班 |
(1)試估計班的學(xué)生人數(shù);
(2)從這120名學(xué)生中任選1名學(xué)生,估計這名學(xué)生一周上網(wǎng)時長超過15小時的概率;
(3)從A班抽出的6名學(xué)生中隨機選取2人,從B班抽出的7名學(xué)生中隨機選取1人,求這3人中恰有2人一周上網(wǎng)時長超過15小時的概率.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,上頂點為A,過的直線與y軸交于點M,滿足(O為坐標(biāo)原點),且直線l與直線之間的距離為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在直線上是否存在點P,滿足?存在,指出有幾個這樣的點(不必求出點的坐標(biāo));若不存在,請說明理由.
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