選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：（
a
+
b
+
c
）（
a
a
+
b
b
+
c
c
）≥9．
分析：根據(jù)題中條件：“由于a＞0，b＞0，c＞0，”設(shè)
a
=x，
b
=y，
c
=z，利用三維的基本不等式即得：（x+y+z）（
1
x
+
1
y
+
1
z
）≥(3
3x•y•z
)(3
3
1
x
•
1
y
•
1
z
)=9．
解答：證明：由于a＞0，b＞0，c＞0，設(shè)
a
=x，
b
=y，
c
=z，得x＞0，y＞0，z＞0．
（x+y+z）（
1
x
+
1
y
+
1
z
）≥(3
3x•y•z
)(3
3
1
x
•
1
y
•
1
z
)=9．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立．
即（
a
+
b
+
c
）（
a
a
+
b
b
+
c
c
）≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)
a
=
b
=
c
時(shí)等號(hào)成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式、一般形式的柯西不等式，屬于基礎(chǔ)題，解答的關(guān)鍵是需要同學(xué)們對(duì)兩種不等式非常熟練．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講
設(shè)x，y，z∈（0，+∞），且x+y+z=1，求
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4-5：不等式選講】
求下列不等式的解集
（Ⅰ）|2x-1|-|x+3|＞0
（Ⅱ）x+|2x-1|＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講：
設(shè)正有理數(shù)x是
2
的一個(gè)近似值，令y=1+
1
1+x
．
（Ⅰ）若x＞
2
，求證：y＜
2
；
（Ⅱ）比較y與x哪一個(gè)更接近于
2
？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）（選修4-5：不等式選講）
已知a，b，c為正數(shù)，且a2+a2+c2=14，試求a+2b+3c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•烏魯木齊一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求證f（x）≥1；
（II）若f（x）=
a2+2
a2+1
成立，求x的取值范圍．

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