Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB=3

2

，AC=3，∠CAB=90°，P、Q分別為棱BB₁、CC₁上的點，且BP=

1

3

BB₁，CQ=

2

3

CC₁．
（1）求平面APQ與面ABC所成的銳二面角的大小．
（2）在線段A₁B（不包括兩端點）上是否存在一點M，使AM+MC₁最小？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出平面APQ與面ABC所成的銳角大�。�
（2）沿A₁B將面A₁BC₁與面A₁BA展開，連結(jié)AC₁與A₁B交于M，此時AM+MC₁有最小值．由此能求出存在點M，使AM+AC₁取最小值為3

5

．

解答： 解：（1）建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
A（0，0，0），P（3

2

，0，

2

），Q（0，3，2

2

）．
設(shè)平面APQ的一個法向量為

n1

=（x，y，z），

n1 • AP =3 2 x+ 2 z=0 n1 • AQ =3y+2 2 z=0

，
令z=3，得

n1

=（-1，-2

2

，3），
平面ABC的一個法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

3

1+8+9

=

2

2

，
∴平面APQ與面ABC所成的銳角大小為45°．…（6分）
（2）沿A₁B將面A₁BC₁與面A₁BA展開，
連結(jié)AC₁與A₁B交于M，此時AM+MC₁有最小值．
∵∠A₁AB=90°，AA₁=AB，∴∠A₁AB=45°，
又C₁A₁⊥面ABB₁A₁，∴C₁A₁⊥A₁B．
∴△AA₁C₁中，∠AA₁C₁=135°，
AC₁=

AA12+A1C12-2AA1•A1C1•cos135°

=

18+9+18

=3

5

，
∴存在點M，使AM+AC₁取最小值為3

5

．

點評：本題考查平面APQ與面ABC所成的銳二面角的大小的求法，考查在線段A₁B（不包括兩端點）上是否存在一點M，使AM+MC₁最小的判斷與求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．