Question

已知數(shù)列{a_n}滿足遞推式：an+1-

2

an

=an-

2

an-1

(n≥2)，a1=1，a2=3
（1）若bn=

1

1+an

，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜3，（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由an+1-

2

an

=an-

2

an-1

(n≥2)得an+1-

2

an

=1，從而可求通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知

1

1+an

=

1

3

[1-(-

1

2

)n]，an+1=

3

1-(- 1 2 )n

，從而有

|an-2|=3| (- 1 2 )n 1-(- 1 2 )n |= 3 |(-2)n-1|

，故可得證．

解答：解：（1）∵an+1-

2

an

=an-

2

an-1

═a2-

2

a1

=3-2=1，∴an+1-

2

an

=1

∴bn=

1

3

[1-(-

1

2

)n]（5分）
（2）由（1）知

1

1+an

=

1

3

[1-(-

1

2

)n]，∴an+1=

3

1-(- 1 2 )n

∴|an-2|=3| (- 1 2 )n 1-(- 1 2 )n |= 3 |(-2)n-1| ，|a2k-1-2|= 3 22k-1+1 ，|a2k-2|= 3 22k-1 ， ∴|a2k-1-2|+|a2k-2|=3( 1 22k-1+1 + 1 22k-1 )=3• 22k-1+22k 24k-1+22k-1-1 ＜3• 22k-1+22k 24k-1 =3( 1 22k-1 + 1 22k )

∴|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_2k-1-2|+|a_2k-2-2|＜3(

1

2

+

1

22

+…+

1

22k

)=3(1-

1

22k

)＜3
而|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_2k-2|+|a_2k+1-2|＜3(1-

1

22k

)+

3

22k+1+1

=3 (1+

1

22k+1+1

-

1

22k

)
∵2^2k+1+1＞2^2k，∴

1

22k+1+1

＜

1

22k

，∴|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|＜3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，絕對(duì)值不等式的證明，難度較大．