Question

15．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，BC∥AD，已知Q為四邊形ABCD內(nèi)部一點，且二面角Q-PD-A的平面角大小為$\frac{π}{4}$，若動點Q的軌跡將四邊形ABCD分成面積為S₁，S₂（S₁＜S₂）的兩部分，則S₁：S₂=（3$\sqrt{5}$-4）：4．

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，求出平面PAD和平面PQD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$，令cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$解出Q的軌跡與y軸的交點坐標(biāo)，求出S₁，S₂得出比值．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)Q的軌跡與y軸的交點坐標(biāo)為Q（0，b，0）（b＞0）．
由題意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{DP}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{DQ}$=（-2，b，0）.$\overrightarrow{AD}$=（2，0，0）．
設(shè)平面APD的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），平面PDQ的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂）
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DQ}=0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{1}+{z}_{1}=0}\\{2{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{2}+{z}_{2}=0}\\{-2{x}_{2}+b{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=0得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，0），令z₂=2得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\frac{2}$，2）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=$\frac{2}$，$|\overrightarrow{{n}_{1}}|=1$，$|\overrightarrow{{n}_{2}}|=\sqrt{5+\frac{4}{^{2}}}$．
∵二面角Q-PD-A的平面角大小為$\frac{π}{4}$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．即$\frac{\frac{2}}{\sqrt{5+\frac{4}{^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得b=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△ADQ=$\frac{1}{2}AD•AQ$=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
S_梯形ABCD-S_△ADQ=$\frac{1}{2}×（1+2）×1$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵S₁＜S₂，∴S₁=$\frac{3}{2}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，S₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴S₁：S₂=（3$\sqrt{5}$-4）：4．
故答案為（3$\sqrt{5}$-4）：4．

點評 本題考查了二面角的計算，使用向量可比較方便的找到Q的軌跡．屬于中檔題．