設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.
(Ⅰ)在數(shù)列{dn}中是否存在三項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p是等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項(xiàng);若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求證:
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
15
16
(n∈N*).
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)和等比數(shù)列的定義即可得出;
(2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;
(I)假設(shè)在數(shù)列{dn}中存在三項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p是等差數(shù)列)成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義及其反證法即可得出;
(II)利用(2)的結(jié)論、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.
解答: 解:(1)由an+1=2Sn+2(n∈N*).
可得:an=2Sn-1+2(n≥2),
兩式相減:an+1=3an(n≥2).
又a2=2a1+2,
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴a2=3a1,解得a1=2.
an=2•3n-1
(2)由(1)可知an=2•3n-1,an+1=2•3n
∵an+1=an+(n+2-1)d,
d=
4•3n-1
n+1

(I)由(2)可知:dn=
4•3n-1
n+1

假設(shè)在數(shù)列{dn}中存在三項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p是等差數(shù)列)成等比數(shù)列,
(dk)2=dmdp,
即:(
4•3k-1
k+1
)2=
4•3m-1
m+1
4•3p-1
p+1

4232k-2
(k+1)2
=
16•3m+p-2
(m+1)(p+1)
       (*)  
∵m,k,p成等差數(shù)列,∴m+p=2k,
∴(k+1)2=(m+1)(p+1),展開為k2+2k+1=mp+(m+p)+1,
∴k2=mp,故k=m=p,這與題設(shè)矛盾.
∴在數(shù)列{dn}中不存在三項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p是等差數(shù)列)成等比數(shù)列.
(II)令Tn=
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+
…+
1
dn

=
2
4•30
+
3
4•31
+
4
4•32
+…+
n+1
4•3n-1
,
1
3
Tn
=
2
4•31
+
3
4•32
+
4
4•33
+…+
n+1
4•3n

兩式相減:
2
3
Tn
=
2
4•30
+
1
4•31
+
1
4•32
+…+
1
4•3n-1
-
n+1
4•3n

=
1
2
+
1
4
1
3
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
-
n+1
4•3n
=
5
8
-
2n+5
8•3n
,
∴Tn=
15
16
-
3(2n+5)
16•3n
15
16
點(diǎn)評:本題考查了數(shù)列遞推式及利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求熟練的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、反證法即等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
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π
4
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n
m
的取值范圍是( 。
A、[-
1
4
,1)
B、[-
1
4
,1]
C、[-
1
2
,1)
D、[-
1
2
,1]

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1
a
,且bn=
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(4)若f(2)=
1
9
,求不等式f(x)•f(3x2-1)<
1
27
的解.

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