Question

南通某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊所成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9

3

 m²，且高度不低于

3

 m．記防洪堤橫斷面的腰長為x（m），外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）為y（m）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5m，則其腰長x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）如圖所示，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形BCFE為矩形，由面積公式即可得出BC用x表示式，即可得出外周長不等式及其定義域．
（2）利用（1）解出不等式，再與定義域求交集即可．

解答：解：（1）如圖所示，
設(shè)BC=a，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形BCFE為矩形，∴EF=a，
AE=xcos60°=

1

2

x=DF，∴AD=a+x．
則高BE=xsin60°=

3

2

x≥

3

，得x≥2．
由題意得9

3

=

3 2 x(a+x+a)

2

，
得出a=

18

x

-

x

2

＞0，解得x＜6．
∴y=2x+

18

x

-

x

2

=

3x

2

+

18

x

（2≤x＜6）．
（2）∵y≤10.5，∴

3x

2

+

18

x

≤10.5，化為x²-7x+12≤0，解得3≤x≤4，
又2≤x＜6，∴3≤x≤4．
∴腰長x應(yīng)在范圍為[3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的常作的輔助線、梯形的面積公式、直角三角形的邊角關(guān)系、一元二次不等式的解法，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．