Question

調(diào)查表明，中年人的成就感與收入、學(xué)歷、職業(yè)的滿意度的指標有極強的相關(guān)性．現(xiàn)
將這三項的滿意度指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不滿意，1表示基本滿意，2表示滿意，再用綜合指標w=x+y+z的值評定中年人的成就感等級：若w≥4，則成就感為一級；若2≤w≤3，則成就感為二級；若0≤w≤1，則成就感為三級．為了了解目前某群體中年人的成就感情況，研究人員隨機采訪了該群體的10名中年人，得到如下結(jié)果：

人員編號	A1	A2	A3	A4	A5
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）	（1，2，1）
人員編號	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，2，2）	（1，1，1）	（1，2，2）	（1，0，0）	（1，1，1）

（Ⅰ）在這10名被采訪者中任取兩人，求這兩人的職業(yè)滿意度指標相同的概率；
（Ⅱ）從成就感等級是一級的被采訪者中任取一人，其綜合指標為a，從成就感等級不是一級的被采訪者中任取一人，其綜合指標為b，記隨機變量X=a-b，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)事件A為“從10名被采訪者中隨機抽取兩人，他們的職業(yè)滿意度指標相同”．從10名被采訪者中隨機抽取兩人的所有可能結(jié)果數(shù)為

C

2 10

=45，職業(yè)滿意度指標相同的所有可能結(jié)果數(shù)為

C

2 5

+

C

2 4

=10+6=16，由此能求出他們的職業(yè)滿意度指標相同的概率．
（Ⅱ）由已知得隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“從10名被采訪者中隨機抽取兩人，他們的職業(yè)滿意度指標相同”．
職業(yè)滿意度指標為0的有：A₉；
職業(yè)滿意度指標為1的有：A₂，A₄，A₅，A₇，A₁₀，
職業(yè)滿意度指標為2的有：A₁，A₃，A₆，A₈．
從10名被采訪者中隨機抽取兩人的所有可能結(jié)果數(shù)為

C

2 10

=45，（2分）
職業(yè)滿意度指標相同的所有可能結(jié)果數(shù)為

C

2 5

+

C

2 4

=10+6=16，（4分）
所以他們的職業(yè)滿意度指標相同的概率P（A）=

16

45

．（5分）
（Ⅱ）計算10名被采訪者的綜合指標，可得下表：

人員編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
綜合指標	4	4	6	2	4	5	3	5	1	3

其中成就感是一級的（w≥4）有：A₁、A₂、A₃、A₅、A₆、A₈，共6名，
成就感不是一級的（w＜4）有A₄、A₇、A₉、A₁₀，共4名．
隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，4，5．（6分）
P（X=1）=

C 1 3 C 1 2

C 1 6 C 1 4

=

1

4

，（7分）
P（X=2）=

C 1 3 C 1 1 + C 1 2 C 1 1 + C 1 2 C 1 1

C 1 6 C 1 4

=

7

24

，（8分）
P（X=3）=

C 1 3 C 1 1 + C 1 2 C 1 1 + C 1 2 C 1 1

C 1 6 C 1 4

=

7

24

，（9分）
P（X=4）=

C 1 1 C 1 1 + C 1 2 C 1 1

C 1 6 C 1 4

=

1

8

，（10分）
P（X=5）=

C 1 1 C 1 1

C 1 6 C 1 4

=

1

24

，（11分）
所以X的分布列為

X	1	2	3	4	5
P	1 4	7 24	7 24	1 8	1 24

（12分）
所以E（X）=1×

1

4

+2×

7

24

+3×

7

24

+4×

1

8

+

1

24

=

29

12

．（13分）

點評：本小題主要考查離散型隨機變量的概率、分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、運算求解能力以及應(yīng)用意識，考查必然與或然思想等．