Question

16．己知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx）．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2且x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求x的值
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，若方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根α、β，
（1）寫(xiě)出實(shí)數(shù)k的取值范圍（不必說(shuō)明理由）
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式求得即可求得k的取值范圍，由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，即可求得k的值；
（Ⅱ）求得f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的解析式，根據(jù)三角二倍角公式及輔助角公式，根據(jù)三角函數(shù)圖象，將方程f（x）-k=0在x∈[$\frac{π}{2}$，π]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根α、β轉(zhuǎn)化成y=k-$\frac{1}{2}$，與y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在[$\frac{π}{2}$，π]，上由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求得k的取值范圍；根據(jù)函數(shù)圖象，α和β關(guān)于x=$\frac{5π}{6}$對(duì)稱(chēng)，即可求得α+β的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，0）=（2sin（x-$\frac{π}{6}$），0），
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2sin（x-$\frac{π}{6}$）=2，
∴x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
由x∈[$\frac{π}{2}$，π]，x=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
f（x）-k=0?sin（2x-$\frac{π}{6}$）=k-$\frac{1}{2}$，其中x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
由三角函數(shù)圖象可知：

sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
即k-$\frac{1}{2}$∈（-1，-$\frac{1}{2}$），即k∈（-$\frac{1}{2}$，0），y=k-$\frac{1}{2}$與y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在[$\frac{π}{2}$，π]上由兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由上圖可知：α和β關(guān)于x=$\frac{5π}{6}$對(duì)稱(chēng)，
∴α+β=2×$\frac{5π}{6}$=$\frac{5π}{3}$，
故α+β=$\frac{5π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量與三角函數(shù)綜合應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題能力，屬于中檔題．