【題目】等腰直角三角形中,,點(diǎn)在邊上,垂直交于,如圖①.將沿折起,使到達(dá)的位置,且使平面平面,連接,,如圖②.
(Ⅰ)若為的中點(diǎn),,求證:;
(Ⅱ)若,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)先證平面得,由為的中點(diǎn),,得,進(jìn)而證明平面即可證明;(Ⅱ)證明三棱錐的體積最大時(shí)DB=2, 以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求面和面PEB的法向量,由空間向量二面角公式求解即可
(I) ,,∩=D
平面,
又在圖①中,,
,
平面,而平面,
,
,是的中點(diǎn),
平面,而平面,
.
(Ⅱ)設(shè),由,三棱錐的體積,
得三棱錐的體積最大時(shí),.
,
以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系
則,,,.
設(shè)面的法向量為
則
令則,,則
設(shè)面的法向量為
則
令則,,則
所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖(如圖):
規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品,在的為優(yōu)等品,在的為特優(yōu)品,銷(xiāo)售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損1元,優(yōu)等品每件盈利3元,特優(yōu)品每件盈利5元.以這100 件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.
(1)求每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn);
(2)該企業(yè)為了解年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷(xiāo)售量(單位:萬(wàn)件)的影響,對(duì)近5年年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)做了初步處理,得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
16.30 | 23.20 | 0.81 | 1.62 |
表中,,,.
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,可以作為年銷(xiāo)售量(萬(wàn)件)關(guān)于年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用(萬(wàn)元)的回歸方程.
①求關(guān)于的回歸方程;
⑦用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)應(yīng)投人多少年?duì)I銷(xiāo)費(fèi),才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大?(收益=銷(xiāo)售利潤(rùn)營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用,取)
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,其回歸直線均斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某企業(yè)有職工5000人,其中男職工3500人,女職工1500人.該企業(yè)為了豐富職工的業(yè)余生活,決定新建職工活動(dòng)中心,為此,該企業(yè)工會(huì)采用分層抽樣的方法,隨機(jī)抽取了300名職工每周的平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間(單位:h),匯總得到頻率分布表(如表所示),并據(jù)此來(lái)估計(jì)該企業(yè)職工每周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間:
平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間 | 頻數(shù) | 頻率 |
[0,2) | 15 | 0.05 |
[2,4) | m | 0.2 |
[4,6) | 45 | 0.15 |
[6,8) | 755 | 0.25 |
[8,10) | 90 | 0.3 |
[10,12) | p | n |
合計(jì) | 300 | 1 |
(1)求抽取的女職工的人數(shù);
(2)①根據(jù)頻率分布表,求出m、n、p的值,完成如圖所示的頻率分布直方圖,并估計(jì)該企業(yè)職工每周的平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于4h的概率;
男職工 | 女職工 | 總計(jì) | |
平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間低于4h | |||
平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于4h | |||
總計(jì) |
②若在樣本數(shù)據(jù)中,有60名女職工每周的平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于4h,請(qǐng)完成以下2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“該企業(yè)職工毎周的平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于4h與性別有關(guān)”.
附:K2=,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平行四邊形中,,,過(guò)點(diǎn)作的垂線,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),.連結(jié),交于點(diǎn),如圖1,將沿折起,使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)若為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且平面平面,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別是,,點(diǎn)在橢圓上,且滿(mǎn)足的點(diǎn)只有兩個(gè).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于,兩點(diǎn),在軸上是否存在一點(diǎn),使得的角平分線是軸?若存在求出,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),在圓:上任取一點(diǎn),的垂直平分線交于點(diǎn).(如圖).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與(1)中的軌跡相交于、兩點(diǎn).問(wèn):平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得恒成立?試證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦距為,點(diǎn)在橢圓上,且的最小值是(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知?jiǎng)又本與圓:相切,且與橢圓交于,兩點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,,是由直線引出的三個(gè)不重合的半平面,其中二面角大小為60°,在二面角內(nèi)繞直線旋轉(zhuǎn),圓在內(nèi),且圓在,內(nèi)的射影分別為橢圓,.記橢圓,的離心率分別為,,則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C過(guò)兩點(diǎn)A(0,4),B(4,6),且圓心在直線x﹣2y﹣2=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)若直線l過(guò)原點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為6,求直線l的方程.
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