Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點．
（1）求橢圓的離心率
（2）求

PF1

•

PF2

的最大值與最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓的方程

x2

4

+y²=1可得a=2，b=1，再利用c=

a2-b2

可得c，利用橢圓的離心率e=

c

a

即可得出；
（2）F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．設(shè)P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的數(shù)量積運算和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由橢圓的方程

x2

4

+y²=1可得a=2，b=1，∴c=

a2-b2

=

3

，∴橢圓的離心率e=

c

a

=

3

2

．
（2）F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)．
設(shè)P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴

PF1

•

PF2

═(-

3

-2cosθ，-sinθ)•(

3

-2cosθ，-sinθ)=4cos²θ-3+sin²θ=3cos²θ-2，
∵0≤cos²θ≤1，
∴-2≤3cos²θ-2≤1．
即

PF1

•

PF2

的最大值與最小值分別是1，-2．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、向量的數(shù)量積運算、余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．