Question

函數(shù)f（x）=x+

2

x

-m在（0，3]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，設(shè)雙鉤函數(shù)g(x)=x+

2

x

，然后，求解該函數(shù)的值域，再結(jié)合零點(diǎn)的概念，利用雙鉤函數(shù)g（x）與直線y=m的交點(diǎn)情形，從而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x+

2

x

-m的零點(diǎn)，也就是方程x+

2

x

-m=0的根，
設(shè)函數(shù)g(x)=x+

2

x

，
∴g ′ (x)=1-

2

x2

，
∵g′（x）=0，
∴x=

2

，
當(dāng)0＜x＜

2

時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)的減區(qū)間為(0，

2

)，
g(x)∈(2

2

，+∞)，
當(dāng)

2

≤x≤3時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)的增區(qū)間為[

2

，3]，
g(x)∈[2

2

，

11

3

]，
函數(shù)的零點(diǎn)就是g（x）=m的解，
∴m＞

11

3

 或m=2

2

，函數(shù)f（x）=x+

2

x

-m在（0，3]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
故答案為{m|m＞

11

3

或m=2

2

}．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的零點(diǎn)，注意將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以求解函數(shù)的值域問題．