Question

下列命題中：
①集合A={ x|0≤x＜3且x∈N }的真子集的個(gè)數(shù)是8；
②關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍m＜-

2

3

；
③函數(shù)f（x）=x²+（3a+1）x+2a在 （-∞，4）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤3；
④已知函數(shù)y=4^x-4•2^x+1（-1≤x≤2），則函數(shù)的值域?yàn)閇-

3

4

，1]；
⑤定義在（-1，0）的函數(shù)f（x）=log_（2a）（x+1）滿足f（x）＞0的a的取值范圍是（0，

1

2

）；
⑥將三個(gè)數(shù)：x=2^0.2，y=(

1

2

)2，z=log2

1

2

，
按從大到小排列正確的是z＞x＞y，其中正確的有

②⑤

．

Answer 1

分析：①不正確，因?yàn)楹�三個(gè)元素的集合其真子集共有2³-1=7 個(gè)．②正確，因?yàn)橛深}意知，1對應(yīng)的函數(shù)值小于0，解得m＜-

2

3

，
③不正確，因?yàn)橛?≤-

3a+1

2

解得 a≤-3． 
④不正確，因?yàn)?span id="gsaq4oc" class="MathJye">

1

2

≤2^x≤4，函數(shù)y=（2^x-2）²-3，當(dāng) 2^x=2時(shí)，函數(shù)有最小值-3，當(dāng) 2^x=4時(shí)，函數(shù)有最大值 1．
⑤正確，因?yàn)閘og_（2a）（x+1）＞0，0＜x+1＜1，故 0＜2a＜1．
⑥不正確，因?yàn)?1＜2^0.2＜2，0＜(

1

2

)2＜1，log2

1

2

＜0，故x＞y＞z．

解答：解：①不正確，因?yàn)榧�合A中含有0、1、2三個(gè)元素，其所有子集共8個(gè)，其中真子集有7個(gè)．
對于②，∵關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，令f（x）=x²+mx+2m+1=0，
則f（1）=2+3m＜0，∴m＜-

2

3

，故②正確．
對于③，f（x）=x²+（3a+1）x+2a在 （-∞，4）上為減函數(shù)時(shí)，4≤-

3a+1

2

，∴a≤-3，故③不正確．
對于④，函數(shù)y=4^x-4•2^x+1（-1≤x≤2）=（2^x-2）²-3，∵-1≤x≤2，

1

2

≤2^x≤4，
故當(dāng) 2^x=2時(shí)，函數(shù)有最小值-3，當(dāng) 2^x=4時(shí)，函數(shù)有最大值 1，故函數(shù)的值域[-3，1]，故④不正確．
對于⑤，在（-1，0）上的函數(shù)f（x）=log_（2a）（x+1）滿足f（x）＞0，∴0＜x+1＜1，
∴0＜2a＜1，∴0＜a＜

1

2

，故⑤正確．
對于⑥，∵1＜2^0.2＜2，0＜(

1

2

)2＜1，log2

1

2

＜0，故 x＞y＞z，故⑥不正確．
綜上，只有②⑤正確，故答案為 ②⑤．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，一元二次方程根的分布，通過舉反例來說明某個(gè)命題不正確，是一種簡單有效的方法．