Question

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（），

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，試比較與的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析

（2）

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的概念的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（），

前n項(xiàng)和與其通項(xiàng)公式的關(guān)系，對(duì)于n令值，然后分別得到n=1, 時(shí)的關(guān)系式得到結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，選擇合適的求和方法，因?yàn)橛桑ǎ保┑?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415362744561615/SYS201208241537047362254282_DA.files/image007.png">，于是，，所以，裂項(xiàng)求和得到結(jié)論。

解： （1）得，

當(dāng)時(shí)，由得，

所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.………………４分

（２）由（１）得，于是，.

所以，于是，…………８分

而，所以問題轉(zhuǎn)化為比較與的大小，………１０分

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)， ，而，所以.

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，仍有.

因此對(duì)任意的正整數(shù)，都有,即……………….１２分