Question

定義在R上的偶函數f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數，下列四個關于f（x）的命題中：
①f（x）是周期函數；
②f（x）在[0，1]上是減函數；
③f（x）在[1，2]上是增函數；
④f（x）的圖象關于x=1對稱．
其中正確命題的個數是

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：由于定義在R上的偶函數f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數，由此可以得出其周期是2，在[0，1]上是減函數，①f（x）是周期函數，由f（x+1）=-f（x）證明．
②f（x）在[0，1]上是減函數；由偶函數的對稱性求證；
③f（x）在[1，2]上是增函數；由周期性求證；
④f（x）的圖象關于x=1對稱．由f（x+1）=-f（x）及f（x）是偶函數來證．
解答：由f（x+1）=-f（x），得f（x+1）=-f（x）=f（x-1），故函數的周期是2，①正確；
f（x）在[-1，0]上是增函數，又函數是偶函數，故函數f（x）在[0，1]上是減函數；②正確；
由 f（x）在[-1，0]上是增函數，又函數是周期為2的函數，故可得f（x）在[1，2]上是增函數；③正確；
由f（x+1）=-f（x）=f（x-1），又函數是偶函數，故有f（1+x）=f（1-x），故函數的對稱軸是x=1，④正確．
故應選D．
點評：本題利用函數的奇偶性與單調性進行判斷證明，本解法靈活運用函數的性質與題設中的恒等式對幾個命題進行證明，安排恰當合理，值得借鑒．