Question

（2010•邯鄲二模）設數列{a_n}為等差數列，且a₅=14，a₇=20，數列{b_n}的前n項和為S_n，b₁=

2

3

且3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n為數列{c_n}的前n項和．求證：T_n＜

7

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數列的通項公式可得d，易求a₁，從而可得a_n，由3S_n=S_n-1+2得n≥3時，3S_n-1=S_n-2+2，兩式相減可得遞推式，根據遞推式可判斷{b_n}為等比數列，由等比數列通項公式可求b_n，注意n的范圍及檢驗．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易求c_n，利用錯位相減法可求得T_n，根據T_n可得結論；

解答：解：（Ⅰ） 由數列{a_n}為等差數列，得公差d=

1

2

(a7-a5)=3，
易得a₁=2，所以a_n=3n-1．
由3S_n=S_n-1+2得，b_n=2-2S_n，令n=1，則b₁=2-2S₁，
又S₁=b₁，所以b₂=2-2（b₁+b₂），則b2=

2

9

．
由3S_n=S_n-1+2，當n≥3時，得3S_n-1=S_n-2+2，
兩式相減得，3（S_n-S_n-1）=S_n-1-S_n-2，即3b_n=b_n-1，

bn

bn-1

=

1

3

，
又

b2

b1

=

1

3

，
所以{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數列，
于是bn=

2

3n

．
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

．
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+（3n-1）•

1

3n

]，

1

3

Tn=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+（3n-4）•

1

3n

+（3n-1）•

1

3n+1

]
兩式相減得，

2

3

Tn=2[3•

1

3

+3•

1

32

+3•

1

33

+…+3•

1

3n

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

]=2[3•

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

]，
所以 Tn=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

，
從而Tn=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

＜

7

2

．

點評：本題考查由遞推式求數列通項公式、數列求和，錯位相減法對數列求和是高考考查的重點內容，應熟練掌握．