Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），f（2-x）=-f（x）且f（2）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，有f′（x）（x-1）＞f（x），則不等式x²f（x）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，把當(dāng)x＞1時(shí)，有f′（x）（x-1）＞f（x）成立，$[\frac{f（x）}{x-1}]′$＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為$\frac{f（x）}{x-1}$在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；再由f（2）=0，易得f（x）在（1，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合f（2-x）=-f（x），函數(shù)關(guān)于（1，0）對稱，可得f（x）在（-∞，1）內(nèi)的正負(fù)性．則x²f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：∵當(dāng)x＞1時(shí)，有f′（x）（x-1）＞f（x）成立，
∴$[\frac{f（x）}{x-1}]′$＞0恒成立，
∴$\frac{f（x）}{x-1}$在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∵f（2）=0，
∴在（1，2）內(nèi)恒有f（x）＜0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＞0．
又∵f（2-x）=-f（x），
∴函數(shù)關(guān)于（1，0）對稱，
∴在（-∞，0）內(nèi)恒有f（x）＜0；在（0，1）內(nèi)恒有f（x）＞0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴x∈（0，1）∪（2，+∞）．
故答案為：（0，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 考查商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，不等式的性質(zhì)，增函數(shù)和減函數(shù)定義的運(yùn)用．