Question

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時(shí)，求證：.

Answer 1

(1) 
(2) 
(3)根據(jù)數(shù)列的求和來放縮法得到不等式的證明關(guān)鍵是對于的運(yùn)用。

試題分析：解：（1），   
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)   3分
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.
，解得.        5分
（2）由（1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005342274721.png" style="vertical-align:middle;" />有實(shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.            10分
（另解：，，
令，所以，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為
當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，.）
（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，
，即                     
   12分
即，
而，結(jié)論成立.    16分
點(diǎn)評：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，是解決該試題的關(guān)鍵，同時(shí)能結(jié)合函數(shù)與方程的思想求解方程的根，屬于中檔題。