Question

7．二面角α-l-β的大小為$\frac{π}{4}$，直線AB?α，若AB與l所成的角為$\frac{π}{4}$，則AB與β所成角的正弦值=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 過B作BC⊥l于C，BD⊥β，垂足為D，連結(jié)CD，于是∠BAD為AB與β所成的角，∠BCD=$\frac{π}{4}$，設(shè)BD=1，利用勾股定理依次求出BC，AB，從而得出sin∠BAD．

解答 解：過B作BC⊥l于C，BD⊥β，垂足為D，連結(jié)CD，
則∠BAD為AB與β所成的角，∠BCD為二面角α-l-β的平面角，∴$∠BCD=\frac{π}{4}$．
∴BC=$\sqrt{2}$BD．
設(shè)BD=1，則BC=$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=$\frac{π}{4}$，BC⊥l，∴AB=$\sqrt{2}$BC=2，
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了線面角的計算，作出線面角是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．