Question

已知點P在直線l：x+y-1=0上，點Q在圓C：（x-2）²+（y-2）²=1上
（1）過點P作圓C的切線PM、PN，切點為M、N，求cos∠MPN的最小值；
（2）過點P作圓C的切線PM、PN，切點為M、N，求cos∠MPN≤

3

5

時，點P橫坐標的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題意，cos∠MPN最小時，CP最小，此時CP⊥直線l，求出|CP|可得sin

1

2

∠MPN，即可求出cos∠MPN的最小值；
（2）由cos∠MPN≤

3

5

，可得

5

5

≤sin

1

2

∠MPN≤1，即

5

5

≤

1

|CP|

≤1，從而可求點P橫坐標的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，cos∠MPN最小時，CP最小，此時CP⊥直線l，|CP|=

|2+2-1|

2

=

3 2

2

，
∴sin

1

2

∠MPN=

1

3 2 2

=

2

3

，
∴cos∠MPN的最小值為1-2（sin

1

2

∠MPN）²=1-2×

2

9

=

5

9

；
（2）∵cos∠MPN≤

3

5

，
∴1-2（sin

1

2

∠MPN）²≤

3

5

，
∴

5

5

≤sin

1

2

∠MPN≤1，
∴

5

5

≤

1

|CP|

≤1，
∴1≤|CP|≤

5

，
設P（x，1-x），則1≤（x-2）²+（1-x-2）²≤5，
∴0≤x≤1．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查三角函數知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．