Question

設(shè)橢圓方程為x²+

y2

4

=1，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，①當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，推出4x²+y²-y=0，②當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也適合方程，求出軌跡方程．

解答： （本小題滿分12分）
解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)，
①當(dāng)斜率存在時(shí)，直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

4x2+y2-4=0 y=kx+1

 得：（4+k²）x²+2kx-3=0，…（4分）
x₁+x₂=-

2k

4+k2

，y₁+y₂=

8

4+k2

，…（6分）
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)  得：（x，y）=

1

2

（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：

x= x1+x2 2 =- k 4+k2 y= y1+y2 2 = 4 4+k2

…（8分）
消去k得：4x²+y²-y=0 …（10分）
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，也適合方程
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：4x²+y²-y=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意直線的斜率是否存在兩種情況．