Question

16．已知命題p：方程x²-2mx+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，命題q：函數(shù)f（x）=log_mx，滿足f（2m²+1）＞f（5m-1），如果p或q為真命題，p且q為假命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：方程x²-2mx+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{2m＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，解得m．命題q：對(duì)m分類討論，利用函數(shù)f（x）=log_mx的單調(diào)性即可得出．如果p或q為真命題，p且q為假命題，可得p與q必然一真一假，

解答 解：命題p：方程x²-2mx+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，則$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{2m＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞1．
命題q：當(dāng)0＜m＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_mx單調(diào)遞減，∵f（2m²+1）＞f（5m-1），∴0＜2m²+1＜5m-1，解得0＜m＜1．
當(dāng)1＜m時(shí)，函數(shù)f（x）=log_mx單調(diào)遞增，∵f（2m²+1）＞f（5m-1），∴2m²+1＞5m-1＞0，解得m＞$\frac{5+\sqrt{41}}{4}$．
綜上可得：0＜m＜1或m＞$\frac{5+\sqrt{41}}{4}$．
如果p或q為真命題，p且q為假命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≤0，或1≤m≤\frac{5+\sqrt{41}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{0＜m＜1或m＞\frac{5+\sqrt{41}}{4}}\end{array}\right.$．
解得$1＜m≤\frac{5+\sqrt{41}}{4}$，或0＜m＜1．
∴m的取值范圍是$0＜m≤\frac{5+\sqrt{41}}{4}$，且m≠1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．