Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：對(duì)任意的0＜a＜b，

f(b)-f(a)

b-a

≤

1

a

-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)m分m≤0，m＞0兩類進(jìn)行討論，求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即函數(shù)f（x）_max≤0，結(jié)合第（Ⅰ）所求的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值；
（Ⅲ）先對(duì)要證明的不等式當(dāng)變形，構(gòu)造一個(gè)形如f（x）的函數(shù)，再根據(jù)已研究函數(shù)的性質(zhì)，得出要證的結(jié)論．

解答： 解：（ I）定義域?yàn)椋?，∞），f′(x)=

1

x

-m=

1-mx

x

，
當(dāng)m≤0時(shí)，f′(x)=

1-mx

x

＞0(x＞0)，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增； 
當(dāng)m＞0時(shí)，令f′(x)=

1-mx

x

＞0，得0＜x＜

1

m

，∴f（x）在(0，

1

m

)上單調(diào)遞增；
令f′(x)=

1-mx

x

＜0，得x＞

1

m

，
∴f（x）在(

1

m

，+∞)上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(0，

1

m

)，單調(diào)減區(qū)間是(

1

m

，+∞)．
（ II）由（ I）知，當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（e）=lne-me+m=1+m（1-e）＞0，
∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，由（ I）得f(x)max=f(

1

m

)=-lnm-1+m，
若使f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，只需-lnm-1+m≤0，
令g（m）=-lnm-1+m，g′(m)=

m-1

m

，
∴當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，g'（m）＜0，
當(dāng)m∈（1，+∞）時(shí)，g'（m）＞0，
∴g（m）_min=g（1）=0，∴只有m=1符合題意，
綜上得，m=1．
（ III）由（ II）知m=1，
∴

f(b)-f(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

-1=

1

a

•

ln b a

b a -1

-1，
∵b＞a＞0，∴

b

a

＞1，由（ II）得，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，lnx≤x-1，
∴ln

b

a

≤

b

a

-1，
∵

b

a

＞1，∴

ln b a

b a -1

≤1，
∵

1

a

＞0，∴

1

a

•

ln b a

b a -1

-1≤

1

a

-1，
∴

f(b)-f(a)

b-a

≤

1

a

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這里要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，解決恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，這些都是導(dǎo)數(shù)中�？嫉念}型，初學(xué)者要多做些這方面的習(xí)題．屬于中檔題．