【題目】定義在R上的函數(shù)yfx).對任意的a,b∈R.滿足:fa+b)=fafb),當x>0時,有fx)>1,其中f(1)=2.

(1)求f(0),f(﹣1)的值;

(2)判斷該函數(shù)的單調(diào)性,并證明;

(3)求不等式fx+1)<4的解集.

【答案】(1);(2)在上遞增,證明見解析;(3).

【解析】

(1)用特殊值法令a=1,b=0,可得f(0)的值,令a=1,b=﹣1,分析可得f(﹣1)的值;(2)fx2)=f[(x2x1)+x1]=fx2x1fx1),結合用定義法求函數(shù)單調(diào)性的方法可得結論;(3)f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=4,據(jù)此分析可得fx+1)<4fx+1)<f(2)x+1<2,解可得x的取值范圍,即可得答案.

(1)根據(jù)題意,對任意的ab∈R,滿足fa+b)=fafb);

a=1,b=0,則f(1)=f(0)f(1),又由f(1)>1,則f(0)=1;

a=1,b=﹣1,則f(0)=f(1)f(﹣1),又由f(1)=2,則f(-1)=;

(2)fx)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增;

任取x1,x2∈(﹣∞,+∞)且x1x2,則有x2x1>0,則fx2x1)>1,

fx2)=f[(x2x1)+x1]=fx2x1fx1)>fx1),

fx2)﹣fx1)>0,

即函數(shù)fx)為增函數(shù);

(3)根據(jù)題意,f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=4,

fx+1)<4fx+1)<f(2)x+1<2,

解可得:x<1,

即不等式的解集為(﹣∞,1).

練習冊系列答案
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A.2
B.3
C.
D.

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