Question

已知函數
（1）若x₁=-2和x₂=4為函數f（x）的兩個極值點，求函數f（x）的表達式
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調遞減函數，求a²+b²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x₁=-2和x₂=4為函數f（x）的兩個極值點，根據極值點處的導數為零，建立方程組，求解即可．
（2）根據f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調遞減函數轉化成f'（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．再利用線性規(guī)劃的方法求出a²+b²的最小值．
解答：解：（1）∵∴f'（x）=x²+ax-b（2分）
又x₁=-2和x₂=4為函數f（x）的兩個極值點
∴-2，4是方程x²+ax-b=0的兩個根

∴（4分）
（2）∵f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調遞減函數∴f'（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．
∴


∴a²+b²的最小值為A到原點O的距離的平方，即（-2）²+3²=13
∴a²+b²的最小值為13（12分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及根據單調性研究參數的范圍，屬于中檔題．