【題目】如下圖所示,某窯洞窗口形狀上部是圓弧,下部是一個矩形,圓弧所在圓的圓心為O,經(jīng)測量米,米,,現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形,其中E,F在邊上,G,H在圓弧上.設(shè),矩形的面積為S.
(1)求矩形的面積S關(guān)于變量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求為何值時,矩形的面積S最大?
【答案】(1),(2)
【解析】
(1)結(jié)合幾何圖形計算的直角三角形勾股定理,找出矩形的面積S關(guān)于變量θ的函數(shù)關(guān)系式;
(2)對S關(guān)于變量θ的函數(shù)關(guān)系式進行求導分析,算出時的的值,三角計算即可得出結(jié)果.
解:(1)如圖,作分別交,于M,N,
由四邊形,是矩形,O為圓心,,
所以,,P,M,N分別為,,中點,,
在中,,,
所以,,
所以,
在中,,,
所以,,
所以,,
所以,,
所以S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為:,
(2)由(1)得:
因為,
所以,
令,得,
設(shè),且,
所以,得,即S在單調(diào)遞增,
,得,即S在單調(diào)遞減
所以當時,S取得最大值,
所以當時,矩形的面積S最大.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知,,若對任意都成立,求的最大值;
(3)設(shè),若存在,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機動車行經(jīng)人行橫道時,應當減速慢行;遇行人正在通過人行橫道,應當停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”,《中華人民共和國道路交通安全法》 第90條規(guī)定:對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份之間的回歸直線方程+
(2)預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù);
(3)交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人,調(diào)查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下2列聯(lián)表:
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計 | |
駕齡不超過1年 | 22 | 8 | 30 |
駕齡1年以上 | 8 | 12 | 20 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
能否據(jù)此判斷有97.5的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?
參考公式及數(shù)據(jù):,.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中n=a+b+c+d)
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【題目】某游戲棋盤上標有第站,棋子開始位于第站,選手拋擲均勻骰子進行游戲,若擲出骰子向上的點數(shù)不大于,棋子向前跳出一站;否則,棋子向前跳出兩站,直到跳到第站或第站時,游戲結(jié)束.設(shè)游戲過程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.
(1)當游戲開始時,若拋擲均勻骰子次后,求棋子所走站數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望;
(2)證明:;
(3)若最終棋子落在第站,則記選手落敗,若最終棋子落在第站,則記選手獲勝.請分析這個游戲是否公平.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E :的焦距為4,兩條準線間的距離為8,A,B分別為橢圓E的左、右頂點.
(1)求橢圓E 的標準方程;
(2)已知圖中四邊形ABCD 是矩形,且BC=4,點M,N分別在邊BC,CD上,AM與BN相交于第一象限內(nèi)的點P .①若M,N分別是BC,CD的中點,證明:點P在橢圓E上;②若點P在橢圓E上,證明:為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學家劉徽在其《海島算經(jīng)》中給出了著名的望海島問題及二次測望方法:今有望海島,立兩表,齊高三丈,前后相去千步,令后表與前表三相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末三合.從后表卻行一百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末三合.問島高及去表各幾何?這一方法領(lǐng)先印度500多年,領(lǐng)先歐洲1300多年.其大意為:測量望海島PQ的高度及海島離岸距離,在海岸邊立兩根等高的標桿(共面,均垂直于地面),使目測點E與P、B共線,目測點F與P、D共線,測出AE、CF、AC即可求出島高和距離(如圖).若,則________;______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域為,若存在一次函數(shù),使得對于任意的,都有恒成立,則稱函數(shù)在上的弱漸進函數(shù).下列結(jié)論正確的是______.(寫出所有正確命題的序號)
①是在上的弱漸進函數(shù);
②是在上的弱漸進函數(shù);
③是在上的弱漸進函數(shù);
④是在上的弱漸進函數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:的左、右焦點分別為,,下頂點為,橢圓的離心率是,的面積是.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)直線與橢圓交于,兩點(異于點),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標.
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