Question

（2012•桂林一模）如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為平行四邊形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直線ED₁與平面EB₁C所成角．

Answer 1

分析：解法一：
（Ⅰ） 證明線面平行，即證AC₁平行于面EB₁C中的一條直線，即可；
（Ⅱ）設(shè)AC₁與ED₁交于點(diǎn)G，連DE，根據(jù)AC₁∥面EB₁C，可得G與C₁到平面EB₁C的距離相等，設(shè)為h，求出EG及h，即可求得ED₁與面EB₁C所成角；
解法二：
作DH⊥AB，分別令DH，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)
（Ⅰ）表示出

ED1

=(-

3

．-1，4)，

EB1

=(0，2，4)，

EC

=(-

3

，3，0)，AC1=(-

3

，5，4)（4分）
求出面EB₁C的法向量，證明A

C1

•

n

=0，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)θ=＜

n

，

ED1

＞，則cosθ=

n • ED1

| n |•| ED1 |

=-

6 85

85

，設(shè)直線ED₁與面EB₁C所成角為α，則cosθ=cos（α+90°）=-sinα，從而可求直線ED₁與面EB₁C所成的角的大小．

解答：解法一：（Ⅰ） 證明：連接BC₁，B₁C∩BC₁=F，連接EF，
因?yàn)锳E=EB，F(xiàn)B=FC₁，所以EF∥AC₁（2分
因?yàn)锳C₁?面EB₁C，EF?面EB₁C
所以AC₁∥面EB₁C（4分）
（Ⅱ）設(shè)AC₁與ED₁交于點(diǎn)G，連DE，
∵AC₁∥面EB₁C，∴G與C₁到平面EB₁C的距離相等，設(shè)為h，（6分）
則ED₁=2

5

，EG=

2 5

3

． （7分）
∴S△B1EC=

51

，點(diǎn)E到平面B₁CC₁距離為

3

．
又∵VC1-B1EC=VE-C1B1C，
∴

51

h=4

3

．∴h=

4

17

．（10分）
設(shè)ED₁與面EB₁C所成角為α，則sinα=

h

GE

=

6 85

85

．
所以ED₁與面EB₁C所成角為arcsin

6 85

85

． （12分）
解法二：
作DH⊥AB，分別令DH，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，如圖建立坐標(biāo)系┉（1分）
因?yàn)椤螧AD=60°，AD=2，所以AH=1，DH=

3

，
所以E(

3

，1，0)D₁（0，0，4），C（0，4，0），B1(

3

，3，4)，A(

3

，-1，0)C₁（0，4，4）（3分）
（Ⅰ）

ED1

=(-

3

．-1，4)，

EB1

=(0，2，4)，

EC

=(-

3

，3，0)，AC1=(-

3

，5，4)（4分）
設(shè)面EB₁C的法向量為

n

=（x，y，z），所以

n

•

EB1

=0，

n

•

EC

=0
化簡(jiǎn)得

2y+4z=0 - 3 x+3y=0

令y=1，則

n

=(

3

，1，-

1

2

)．（6分）
∵A

C1

•

n

=0，AC₁?面EB₁C，∴AC₁∥面EB₁C．（8分）
（Ⅱ）設(shè)θ=＜

n

，

ED1

＞，則cosθ=

n • ED1

| n |•| ED1 |

=-

6 85

85

．（10分）
設(shè)直線ED₁與面EB₁C所成角為α，則cosθ=cos（α+90°）=-sinα．
即sinα=

6 85

85

．（11分）
∴直線ED₁與面EB₁C所成的角的大小為arcsin

6 85

85

． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，兩法并舉，傳統(tǒng)方法需要添加必要的輔助線，向量方法，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，注意細(xì)細(xì)體會(huì)．