Question

8．過圓x²+y²=25內(nèi)一點(diǎn)P（$\sqrt{15}$，0）作傾斜角互補(bǔ)的直線AC和BD，分別與圓交于A、C和B、D，則四邊形ABCD面積的最大值為（　�。�

• A． 40$\sqrt{3}$
• B． $\frac{80\sqrt{3}}{3}$
• C． 40$\sqrt{2}$
• D． $\frac{80\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)AC的傾斜角為θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），可得AC：y=tanθ（x-$\sqrt{15}$）．再設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合梯形面積公式可得S_ABCD=$\frac{40ta{n}^{3}θ-100tanθ}{（1+ta{n}^{2}θ）^{2}}$．換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答 解：如圖，

設(shè)AC的傾斜角為θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
則AC：y=tanθ（x-$\sqrt{15}$）．
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由對(duì)稱性可得：${S}_{ABCD}=2×\frac{1}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）$
=$tanθ（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$=$tanθ[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x•tanθ-\sqrt{15}tanθ}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，得$（1+ta{n}^{2}θ）{x}^{2}-2\sqrt{15}x•ta{n}^{2}θ+15ta{n}^{2}θ-25=0$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2\sqrt{15}ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{15ta{n}^{2}θ-25}{1+ta{n}^{2}θ}$．
則S_ABCD=$tanθ[\frac{60ta{n}^{4}θ}{（1+ta{n}^{2}θ）^{2}}-\frac{60ta{n}^{2}θ-100}{1+ta{n}^{2}θ}]$=$\frac{40ta{n}^{3}θ-100tanθ}{（1+ta{n}^{2}θ）^{2}}$．
令tanθ=k（k＞0），
則S=$\frac{40{k}^{3}-100k}{（1+{k}^{2}）^{2}}$，∴S′=$-20（2{k}^{2}-1）•\frac{{k}^{2}+5}{（1+{k}^{2}）^{2}}$．
∴當(dāng)k∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時(shí)，S′＞0，當(dāng)k∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）時(shí)，S′＜0，
∴當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，${S}_{max}=\frac{80\sqrt{2}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的相關(guān)知識(shí)，三角函數(shù)的最值問題，考查換元法的思想，以及運(yùn)算能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題