Question

19．下列函數(shù)中，最小值為2的是（　�。�

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． $y=lgx+\frac{1}{lgx}（1＜x＜10）$
• C． $y=sinx+\frac{2}{sinx}（0＜x＜\frac{π}{2}）$
• D． y=3^x+3^-x

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)依次判斷即可得出答案．

解答 解：對(duì)于A(yíng)：$y=x+\frac{1}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，$y=x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．當(dāng)x＜0時(shí)，$y=-（x+\frac{1}{x}）$，
∵$x+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，∴y≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)．故A不對(duì)．
對(duì)于B：$y=lgx+\frac{1}{lgx}$$≥2\sqrt{lgx•\frac{1}{lgx}}=2$，當(dāng)且僅當(dāng)lgx=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=10．而1＜x＜10，故B不對(duì)．
對(duì)于C：$y=\frac{2}{sinx}+sinx≥2\sqrt{\frac{2}{sinx}•sinx}$$≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=$\frac{π}{2}$．而0＜x＜$\frac{π}{2}$，故C不對(duì)．
對(duì)于D：$y={3}^{x}+{3}^{-x}={3}^{x}+\frac{1}{{3}^{x}}≥2\sqrt{{3}^{x}•\frac{1}{{3}^{x}}}=2$，當(dāng)且僅當(dāng)3^x=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=0，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的判斷及運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．