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20.已知橢圓x2a2+y22=1(a>b>0),直線x=a2c(c是橢圓的焦距長的一半)交x軸于A點,橢圓的上頂點為B,過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線交橢圓的第一象限于P點,交AB于D點,若點D滿足2OD=OF+OP(O為坐標(biāo)原點).
(I)求橢圓的離心率;
(II)若半焦距為3,過點A的直線l交橢圓于兩點M、N,問在x軸上是否存在定點C使CMCN為常數(shù)?若存在,求出C點的坐標(biāo)及該常數(shù)值;若不存在,請說明理由.

分析 (I)由題意分別求得D、F和P點坐標(biāo),根據(jù)向量加法的坐標(biāo)表示求得a和b的關(guān)系、由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2及e=ca即可求得e;
(II)由c=3,即可求得橢圓方程,并求得過點A的直線方程,代入橢圓方程,求得關(guān)于x的一元二次方程,由△>0求得k的取值范圍,利用韋達(dá)定理,表示出CMCN,令CMCN=u,(整理68+4n2-32n-4u)k2+n2-u-12=0,對任意k∈(-3434)都成立,求得關(guān)于n和u的二元一次方程組,即可求得n的值,求得C點坐標(biāo).

解答 解:(I)由題意可知:A(a2c,0),B(0,b),
直線AB的方程是:cxa2+y=1,將x=c代入,得y=2a2
∴D(0,2a2),將x=c代入x2a2+y22=1,得y=±2a(舍負(fù)),
∴P(0,2a2),
∵2OD=OF+OP,
∴2(0,2a2)=(c,0)+(0,2a2),整理得:22a2=2a,即a=2b,
∵a2=b2+c2,
∴e=ca=22
橢圓的離心率32;
(II)當(dāng)c=3時,橢圓的方程為:x212+y23=1,過A(4,0)的直線方程為y=k(x-4),
將直線方程代入橢圓方程消去y,整理得:(1+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,
∴△=(-32k2)-4(1+4k2)(64k2-12)=-4(16k2-12)>0,
解得:k234,
假設(shè)存在點C(n,0),使得CMCN為常數(shù),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
由韋達(dá)定理可知:x1+x2=32k21+4k2,x1•x2=64k2121+4k2,
CMCN=(x1-n,y1)•(x2-n,y2),
=(x1-n)•(x2-n)+y1•y2,
=(x1-n)•(x2-n)+k2(x1-4)(x2-4),
=(1+k2)x1•x2-(n+4k2)(x1+x2)+n2+16k2
=(1+k2)×32k21+4k2-(n+4k2)×64k2121+4k2+n2+16k2=u,
整理得:(68+4n2-32n-4u)k2+n2-u-12=0,對任意k234都成立,
{68+4n232n4u=0n2u12=0,解得:{n=298u=7364,
故在x軸上存在點(298,0)使為常數(shù).

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì),考查一元二方程根與系數(shù)的關(guān)系,向量的坐標(biāo)表示,考查分析問題、解決問題及計算能力,屬于難題.

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