Question

汽車從剎車開始到完全靜止所用的時(shí)間叫做剎車時(shí)間；所經(jīng)過的距離叫做剎車距離．某型汽車的剎車距離s（單位米）與時(shí)間t（單位秒）的關(guān)系為s=5t³-k•t²+t+10，其中k是一個(gè)與汽車的速度以及路面狀況等情況有關(guān)的量．
（1）當(dāng)k=8時(shí)，且剎車時(shí)間少于1秒，求汽車剎車距離；
（2）要使汽車的剎車時(shí)間不小于1秒鐘，且不超過2秒鐘，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=8時(shí)，s=5t³-8t²+t+10，令瞬時(shí)速度即s′=0，可求t，再代入s可求；
（2）汽車靜止時(shí)v=0，故問題轉(zhuǎn)化為15t²-2kt+1=0在[1，2]內(nèi)有解，2k=

15t2+1

t

=15t+

1

t

，令f(t)=15t+

1

t

，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（t）的范圍，從而可得k的范圍；

解答： 解：（1）當(dāng)k=8時(shí)，s=5t³-8t²+t+10，
這時(shí)汽車的瞬時(shí)速度為V=s′=15t²-16t+1，
令s′=0，解得t=1（舍）或t=

1

15

，
當(dāng)t=

1

15

時(shí)，s=10

22

675

，
所以汽車的剎車距離是10

22

675

米．
（2）汽車的瞬時(shí)速度為v=s′，∴v=15t²-2kt+1，
汽車靜止時(shí)v=0，
故問題轉(zhuǎn)化為15t²-2kt+1=0在[1，2]內(nèi)有解，
又2k=

15t2+1

t

=15t+

1

t

，
∵15t+

1

t

≥2

15

，當(dāng)且僅當(dāng)15t=

1

t

，t=

1 15

時(shí)取等號，
∵t=

1 15

∉[1，2]，∴記f(t)=15t+

1

t

，f′(t)=15-

1

t2

，
∵t∈[1，2]，∴f′(t)=15-

1

t2

＞0，∴f（t）單調(diào)遞增，
∴f(t)∈[16，

61

2

]，2k∈[16，

61

2

]，即k∈[8，

61

4

]，
故k的取值范圍為k∈[8，

61

4

]．

點(diǎn)評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在實(shí)際問題中構(gòu)建恰當(dāng)函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．