Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，若滿足，則稱函數(shù)為“型函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)和是否為“型函數(shù)”，并說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)，記為函數(shù)的導函數(shù).

①若函數(shù)的最小值為1，求的值；

②若函數(shù)為“型函數(shù)”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)不是,是,理由見解析;(2)①;②.

【解析】

(1)分別求出兩個函數(shù)的定義域,判斷即可.

(2) ①求出,再求,通過導數(shù)探究當取何值時,取最小值,令最小值為1,即可求出的值.②由題意恒成立,分別討論當和時,通過探究 的單調(diào)性判斷是否使得不等式恒成立,從而求出的取值范圍.

解:(1)對于函數(shù),定義域為,顯然不成立,所以不是“型函數(shù)”;

對于函數(shù),定義域為.

當時,,所以,即;

當時,,所以,即.

所以,都有.所以函數(shù)是“型函數(shù)”.

(2)①因為

所以.當時,,所以在上為減函數(shù);

當時,,所以在上為增函數(shù).

所以.所以,故.

②因為函數(shù)為“型函數(shù)”,

所以(*).

(ⅰ)當,即時,由①得,即.

所以在上為增函數(shù),又,當時,

所以;當時,,所以.

所以,適合(*)式.

(ⅱ)當,即時,,.

所以由零點存在性定理得,使,又在上為增函數(shù)

所以當時,,所以在上為減函數(shù)

又,所以當時,,所以,不適合(*)式.

綜上得,實數(shù)的取值范圍為.