Question

已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是、,是橢圓右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn).又直線：按向量平移后的直線是，直線：按向量平移后的直線是 (其中)。

（1） 求橢圓的離心率的取值范圍。

（2）當(dāng)離心率最小且時(shí)，求橢圓的方程。

（3）若直線與相交于（2）中所求得的橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，且與這個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn)，與這個(gè)橢圓交于、兩點(diǎn)。求四邊形ABCD面積的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3） .

【解析】

試題分析：（1）要求離心率e的范圍，就要找出含e的不等式.這個(gè)不等式從哪里來(lái)？

線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，所以，兩邊除以得：，解這個(gè)不等式即可得離心率的取值范圍：.（2）由（1）知的最小值為，即.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040804042765788219/SYS201404080405023766898086_DA.files/image014.png">，這樣便得一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組即可.

（3）據(jù)條件知直線與相互垂直，所以四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，其面積.

求出直線與的方程，聯(lián)立起來(lái)解方程組便可得交點(diǎn)P的坐標(biāo).因?yàn)榻粦?zhàn)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，據(jù)此可得m的范圍.接下來(lái)將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，再用弦長(zhǎng)公式，可得弦AC，再將與橢圓的方程聯(lián)立，可得弦BD，由此可得四邊形ABCD面積與m的函數(shù)關(guān)系式，再用前面求得的m的范圍，就可求出這個(gè)函數(shù)式的范圍，即四邊形ABCD面積的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距是，則據(jù)條件有

解之得：                             3分

（2）據(jù)（1）知，又，得橢圓的方程是

                                     6分

（3）據(jù)條件有

：

：                                7分

由   解得

因在橢圓內(nèi)，有                       9分

又由，消去得

所以

據(jù)對(duì)稱(chēng)性易知        12分

所以                                 13分

而，所以                                14分

考點(diǎn)：1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；2、函數(shù)的范圍；3、不等關(guān)系.