已知曲線(xiàn)C是動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離之比為的點(diǎn)的軌跡.
(1)求曲線(xiàn)C的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)N(1,3)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程.
【答案】分析:(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),利用兩點(diǎn)之間的距離公式,將|OM|、|AM|表示成關(guān)于x、y的式子,利用它們的距離之比為建立等式,化簡(jiǎn)整理即可得到曲線(xiàn)C的方程;
(2)由(1)得曲線(xiàn)C是以(-1,0)為圓心,半徑r=2的圓.然后按直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式加以計(jì)算,即可得到兩條切線(xiàn)的方程.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),則
|OM|=,|AM|=
=,∴|AM|=2|OM|即=2…4分
兩邊平方整理,得:x2+y2+2x-3=0,即為所求曲線(xiàn)C的方程.…6分
(2)由(1)得x2+y2+2x-3=0,整理得(x+1)2+y2=4
∴曲線(xiàn)C是以(-1,0)為圓心,半徑r=2的圓.
i)當(dāng)過(guò)點(diǎn)N(1,3)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)方程為x=1,顯然與圓相切;…8分
ii) 當(dāng)過(guò)點(diǎn)N(1,3)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)方程為y-3=k(x-1)
即kx-y+3-k=0                               …9分
∵直線(xiàn)與圓相切.得圓心到該直線(xiàn)的距離等于半徑,
,解之得k=,…11分
可得直線(xiàn)方程為5x-12y+31=0                 …12分
所以過(guò)點(diǎn)N(1,3)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程為x=1或5x-12y+31=0.…13分
點(diǎn)評(píng):本題給出滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn),求軌跡方程并求與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程,著重考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識(shí),屬于中檔題.
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已知曲線(xiàn)C是動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離之比為
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的點(diǎn)的軌跡.
(1)求曲線(xiàn)C的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)N(1,3)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程.

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已知曲線(xiàn)C是到點(diǎn)P和到直線(xiàn)y=-距離相等的點(diǎn)的軌跡.l是過(guò)點(diǎn)Q(-1,0)的直線(xiàn),M是C上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn);A,B在l上,MA⊥l,MB⊥x軸(如圖).

(Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程;

(Ⅱ)求出直線(xiàn)l的方程,使得為常數(shù).

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已知曲線(xiàn)C是到點(diǎn)P和到直線(xiàn)y=距離相等的點(diǎn)的軌跡,l是過(guò)點(diǎn)Q(-1,0)的直線(xiàn),M是C上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn);A、B在l上,MA⊥l,MB⊥x軸(如圖),
(Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程;
(Ⅱ)求出直線(xiàn)l的方程,使得為常數(shù)。

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已知曲線(xiàn)C是動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離之比為
1
2
的點(diǎn)的軌跡.
(1)求曲線(xiàn)C的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)N(1,3)與曲線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程.

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