Question

已知命題p：函數(shù)f（x）=ax³+3x²-x+1在R上是減函數(shù)；命題q：在平面直角坐標系中，點（-1，a）在直線x+y-3=0的左下方．若“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：我們可以求出命題p為真命題與命題q為真命題時，實數(shù)a的取值范圍，
又由“p或q”為真，“p且q”為假，構造關于a的不等式組，解不等式組即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：f′（x）=3ax²+6x-1，
∵函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，
∴f′（x）≤0即3ax²+6x-1≤0（x∈R）．
（1）當a=0時，對x∈R，f′（x）≤0不恒成立，故a≠0．
（2）當a≠0時，要使3ax²+6x-1≤0對任意的x∈R均成立，
應滿足

3a＜0 △=62+12a≤0

，解得a≤-3，
∴命題p為真命題時，實數(shù)a的取值范圍是a≤-3．
由點（-1，a）在直線x+y-3=0的左下方，得到-1+a-3=0，即a＜4
∴命題q為真命題時，實數(shù)a的取值范圍是a＜4
若“p∧q”為假，“p∨q”為真，則命題p，q中一個為真一個為假
若p真q假，a無解；若p假q真，-3＜a＜4，
綜上所述，a的取值范圍是（-3，4）．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中根據(jù)已知條件，求出命題p與命題q為真或假時，實數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關鍵．