Question

定義F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
（1）設(shè)函數(shù)f（n）=（n∈N*），求函數(shù)f（n）的最小值；
（2）設(shè)g（x）=F（x，2），正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足；a₁=3，g（a_n+1）=，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并求所有可能乘積a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

解：（1）∵F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
∴f（n）==，
∴==，
由于2n²-（n+1）²=（n-1）²-2，
當(dāng)n≥3時(shí)，f（n+1）＞f（n）； 當(dāng)n＜3時(shí)，f（n+1）＜f（n），
所以當(dāng)n=3時(shí)，f（n）_min=f（3）=；…（6分）
（2）∵g（x）=F（x，2）=2^x，
∴g（a_n+1）=，
又∵g（a_n+1）==，
所以a_n+1=3a_n，而a₁=3，所以a_n=3ⁿ；…（9分）
設(shè)所求的和為S，
則S=a₁•a₁+（a₁+a₂）•a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n）•a_n…（11分）
=3•3¹+（3+3²）•3²+…+（3+3²+…+3ⁿ）•3ⁿ…（12分）
=•3¹+•3²+…+•3ⁿ
=
=
=…（14分）．
分析：（1）由題意可得f（n）==，要求f（n）的最小值，只要判斷f（n）的單調(diào)性，利用比較法中的比商：=，只要判斷2n²與（n+1）²的大小即可判斷
（2）先由 條件可求g（x）=F（x，2）=2^x，代入可得g（a_n+1）=，結(jié)合g（a_n+1）==，可得a_n+1與a_n的遞推關(guān)系，進(jìn)而可求通項(xiàng)，設(shè)所求的和為S，則S=a₁•a₁+（a₁+a₂）•a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n）•a_n利用分組求和的可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用單調(diào)性求解函數(shù)的最值，及分組求和方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于函數(shù)與數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．