Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求幾何體ABCD-A₁C₁D₁的表面積；
（2）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：常規(guī)題型,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截去一個角后，得到的幾何體的體積為

40

3

，求出AA₁，然后計算表面積．
（2）在線段BC₁上找一點P，使直線A₁P與C₁D垂直，可以過A點找一個平面，使這一平面與C₁ D垂直，這一平面與BC₁ 的交點即為P點．利用三角形相似求線段A₁P的長．

解答： 解：（1）∵VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=2×2×AA1-

1

3

×

1

2

×2×2×AA1=

10

3

AA1=

40

3

，

∴AA₁=4．------------------------------------------------------（3分）
A1B=C1B=2

5

，A1C1=2

2

，設(shè)A₁C₁的中點H，
所以BH=3

2

∴S△A1C1B=6---------------------------（5分）
∴表面積S=3×8+4+2+6=36----------------------（6分）
（2）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點P，則A₁P⊥C₁D．-------（7分）
因為A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，∴C₁D⊥平面A₁PQD₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQCD₁且A₁P?平面A₁PQD₁，
∴A₁P⊥C₁D．---------------------------------------（9分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，
∴C₁Q=1，又∵PQ∥BC，∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高D1Q=

5

，
∴A1P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

．---------------------（12分）

點評：本題第（1）問考查了幾何體的體積及表面積的求法，關(guān)鍵是根據(jù)體積求出AA₁，第（2）問考查了探索性問題，關(guān)鍵是如何作出P點．