Question

【題目】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=2，{an}的前n項和為Sn ， 數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）2n+2+4對任意的n∈N*恒成立．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（2）是否存在非零整數(shù)λ，使不等式sin ＜ 對一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
（3）各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{cn}，滿足c39=a1007 ， 且存在正整數(shù)k，使c1 ， c39 ， ck成等比數(shù)列，若數(shù)列{cn}的公差為d，求d的所有可能取值之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，

∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）2n+2+4，

令n=1，2，3，分別得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，

又a1=2，

∴ ，即 ，解得 或 ．

經(jīng)檢驗d=q=2符合題意， 不合題意，舍去．

∴an=2n， ；

（2）解：由an=2n，得sin ，

設 ，

則不等式sin ＜ 等價于 ，

∵bn＞0，且 ，

∴bn+1＞bn，數(shù)列{bn}單調(diào)遞增，

假設存在這樣的實數(shù)λ，使得不等式 對一切n∈N*都成立，則

①當n=4m+4和n=4m+2，m∈N時，sin ，不等式 恒成立；

②當n=4m+1，m∈N時，sin ，λ＜ ；

③當n=4m+3，m∈N時，sin ， ．

綜上，λ∈（ ），由λ是非0整數(shù)，可知存在λ=1（﹣1不滿足題意，舍）滿足條件；

（3）解：由題意可知，d=0時成立；

當d＞0時，c39=c1+38d=2014，得c1=2014﹣38d．

ck=c39+（k﹣39）d=2014+（k﹣39）d，

由 ，得（2014﹣38d）[014+（k﹣39）d]=20142，得

k= = = ∈N*．

又∵ ，0＜53﹣d＜53．

∴53﹣d=1，2，19，53，

則d=0，52，51，34，

∴公差d的所有可能取值之和為137．

【解析】（1）設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，在a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=（n﹣1）2n+2+4中分別令n=1，2，3，得到關于d與q的方程組，求解方程組可得 或 ，檢驗d=q=2符合題意，從而求得an=2n， ；（2）由an=2n，得sin ，設 ，把原不等式轉(zhuǎn)化為 ，且 ，可得數(shù)列{bn}單調(diào)遞增，假設存在這樣的實數(shù)λ，使得不等式 對一切n∈N*都成立，分①n=4m+4和n=4m+2，m∈N，②n=4m+1，m∈N，③n=4m+3，m∈N時求解非0整數(shù)λ的值；（3）由題意可知，d=0時成立；當d＞0時，結合 ，得（2014﹣38d）[2014+（k﹣39）d]=20142 ， 即k= = = ∈N* ． 再由d＞0且c1＞0求出λ的所有可能取值得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．