Question

9．已知f（x）=e^x-ae^-x+（a+1）x+2a，若對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$，設h（x）=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$利用極限的思想求出函數(shù)h（x）的最大值，問題得以解決．

解答 解：∵f（x）=e^x-ae^-x+（a+1）x+2a，對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴e^x+x＞a（e^-x-x-2），
∵g（x）=e^-x-x-2在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴g（x）_max＜g（0）=-1，
∴g（x）＜-1，
∴a＞$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$，
設h（x）=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$，
∴$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}+x}{{e}^{-x}-x-2}$
=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}}{-{e}^{-x}}$=-1，
∴a≥-1，
故a的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題考查了參數(shù)的取值范圍以及函數(shù)恒成立的問題和極限的思想，屬于中檔題．