Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+1且f（0）=1，函數(shù)g（x）=2mx（m＞0）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)F（x）=

g(x)

f(x)

在（0，1）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由條件列出方程，解得即可；
（Ⅱ）F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x+1，即有a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x+1，
即有2a=2，a+b=1，解得a=1，b=0，
則f（x）=x²+1；
（Ⅱ）F（x）=

g(x)

f(x)

=

2mx

x2+1

在（0，1）上單調(diào)遞增．
證明如下：設(shè)0＜s＜t＜1，
則F（s）-F（t）=

2ms

s2+1

-

2mt

t2+1

=

2m(s-t)(1-st)

(1+s2)(1+t2)

，
由于0＜s＜t＜1，則s-t＜0，0＜st＜1，1-st＞0，m＞0，
則則F（s）-F（t）＜0，
則F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法：待定系數(shù)法，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，注意運(yùn)用定義，屬于基礎(chǔ)題．