Question

設(shè)Tn=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

n2

)(n≥2)．
（Ⅰ）求T₂，T₃，T₄，試用n（n≥2）表示T_n的值．
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）T2=1-

1

4

=

3

4

，T3=(1-

1

4

)(1-

1

9

)=

4

6

，T4=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)=

5

8

，…6分
猜想Tn=

n+1

2n

…8分
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)由（Ⅰ）可知成立…10分
（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即Tk=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

k2

)=

k+1

2k

，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，Tk+1=Tk(1-

1

(k+1)2

)=

k+1

2k

•

k2+k

(k+1)2

=

(k+1)+1

2(k+1)

，…14分
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
根據(jù)（1）（2）可知結(jié)論當(dāng)n≥2，n∈N^•時(shí)都成立．…16分．