如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，,平面，是的中點，是的中點.   　

(Ⅰ) 求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面⊥平面；

（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

 

 

 

【答案】

(Ⅰ) 取中點為，連  ∵ 是的中點  ∴是的中位線,∴    ∵ 是中點且是菱形，

,∴ . ∴  

  ∴ 四邊形是平行四邊形.  從而 ,     ∵ 平面 ,

平面,        ∴  ∥平面       ……………………………4分

（Ⅱ）∵ ⊥平面,平面   ∴   

∵ 底面是菱形，  ∴ 為正三角形,  ∵是中點  ∴     ∵是平面內(nèi)的兩條相交直線  ∴ ⊥平面. 

∵平面  ∴ 平面⊥平面  .  ……………………………8分

說明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前兩小題用向量法，解答只要言之有理均應(yīng)按步給分.

（Ⅲ）以為原點，垂直于的方向為軸，的方向分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知、、、.

由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一個法向量,

設(shè)平面的一個法向量為

由 ,且由

在以上二式中令，則得，，

∴,設(shè)平面與平面所成銳角為 

 ∴ .　

故平面與平面所成的銳角為

 

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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（（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知
．

（1）證明平面；
（2）求異面直線與所成的角的大��；
（3）求二面角的大�。�

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（本題滿分16分）

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（1）證明平面；

（2）求異面直線與所成的角的大��；

（3）求二面角的大�。�

 

 

 

 

 

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如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱，為中點，作交于

（1）求PF：FB的值

（2）求平面與平面所成的銳二面角的正弦值。

 

 

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(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（Ⅰ）當(dāng)時，求證平面

（Ⅱ）當(dāng)二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

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