Question

9．如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)OD交圓O于點(diǎn)M．且AB=4，DE=$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求證：O、B、D、E四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)OE、BE，首先證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，從而得到四邊形一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，即四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）延長(zhǎng)DO交圓O于點(diǎn)H，由（Ⅰ）知DE為圓O的切線，求出BC，即可求出AC．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)OE、BE，則BE⊥EC，又D是BC的中點(diǎn)，所以DE=BD，
又因?yàn)镺E=OB，OD=OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD=∠OED=90°，
所以O(shè)、B、D、E四點(diǎn)共圓．------5
（Ⅱ）解：延長(zhǎng)DO交圓于點(diǎn)H，由（Ⅰ）知DE為圓O 的切線，
所以$BD=DE=\frac{3}{2}$，所以BC=3，
又因?yàn)锳B=4-----9
所以AC=5------10

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形全等，考查四點(diǎn)共圓，考查了圓的切線的性質(zhì)定理與判定、直徑所對(duì)的圓周角等知識(shí)，屬于中檔題．