Question

已知圓心角為120° 的扇形AOB半徑為1，C為

AB

中點(diǎn)．點(diǎn)D，E分別在半徑OA，OB上（不含端點(diǎn)）．若CD²+CE²+DE²=2，則OD+OE的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：設(shè)OD=a，OE=b，由余弦定理可得CD²=a²-a+1．同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²，從而得到3ab=2（a+b）²-（a+b） （*）．再利用基本不等式可得3ab≤

3

4

（a+b）²，代入（*）式，求得2（a+b）的范圍，即為所求．

解答： 解：設(shè)OD=a，OE=b，a、b∈（0，1），由余弦定理得，
CD²=CO²+DO²-2CO•DOcos60°=a²-a+1．
同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²，
從而得到CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=2，
∴2（a²+b²）-（a+b）+ab=0，
配方得2（a+b）²-（a+b）-3ab=0，
即3ab=2（a+b）²-（a+b） （*）
又∵ab≤(

a+b

2

)2=

(a+b)2

4

，
∴3ab≤

3

4

（a+b）²，代入（*）式，
得2（a+b）²-（a+b）≤

3

4

（a+b）² ．
設(shè)a+b=m，代入上式有2m²-m≤

3

4

m²，
即

5

4

m²-m≤0，得到m≤

4

5

．
再根據(jù)m＞0，可得m的范圍是（0，

4

5

]．
故答案為：（0，

4

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．