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【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點M，N分別在AE，CD上運動（不含端點），且AM＝CN，則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.

【答案】32π

【解析】

設ED＝a，根據勾股定理的逆定理可以通過計算可以證明出CE⊥ED. AM＝x，根據三棱錐的體積公式，運用基本不等式，可以求出AM的長度，最后根據球的表面積公式進行求解即可.

設ED＝a，則CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.

當平面ABD⊥平面BCD時，當四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值，設AM＝x.

則四面體C﹣EMN的體積（a﹣x）a×xax（a﹣x），當且僅當x時取等號.

解得a＝2.

此時三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積＝4πa2＝32π.

故答案為：32π

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查某款電視機的壽命，研究人員對該款電視機進行了相應的測試，將得到的數據分組：，，，，，并統計如圖所示：

并對不同性別的市民對這款電視機的購買意愿作出調查，得到的數據如下表所示：

愿意購買該款電視機

不愿意購買該款電視機

總計

男性

800

1000

女性

600

總計

1200

（1）根據圖中的數據，試估計該款電視機的平均壽命；

（2）根據表中數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“是否愿意購買該款電視機”與“市民的性別”有關；

（3）以頻率估計概率，若在該款電視機的生產線上隨機抽取4臺，記其中壽命不低于4年的電視機的臺數為X，求X的分布列及數學期望.

參考公式及數據：，其中．

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：經過定點，其左右集點分別為，且，過右焦且與坐標軸不垂直的直線l與橢圈交于P，Q兩點.

（1）求橢圓C的方程：

（2）若O為坐標原點，在線段上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱臺中，，．

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視，有機、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費者的歡迎，同時生產—運輸—銷售一體化的直銷供應模式,不僅減少了成本，而且減去了蔬菜的二次污染等問題.

（1）在有機蔬菜的種植過程中，有機肥料使用是必不可少的.根據統計某種有機蔬菜的產量與有機肥料的用量有關系，每個有機蔬菜大棚產量的增加量（百斤）與使用堆漚肥料（千克）之間對應數據如下表

使用堆漚肥料（千克）

2

4

5

6

8

產量的增加量（百斤）

3

4

4

4

5

依據表中的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；并根據所求線性回歸方程，估計如果每個有機蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克，則每個有機蔬菜大棚產量增加量是多少百斤?

（2）某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價格賣給顧客，如果當天前8小時賣不完，則超市通過促銷以每份5元的價格賣給顧客（根據經驗，當天能夠把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再進貨）.該生鮮超市統計了100天有機蔬菜在每天的前8小時內的銷售量（單位:份），制成如下表格(注:，且)；

前8小時內的銷售量（單位:份）

15

16

17

18

19

20

21

頻數

10

x

16

6

15

13

y

若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當天銷售有機蔬菜利潤的期望值為決策依據，當購進17份比購進18份的利潤的期望值大時，求的取值范圍.

附：回歸直線方程為，其中.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D. 2

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校為進一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠離外賣，健康飲食”的口號．當然，也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求．在學期末，校學生會為了調研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分數據，將分數分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分數的頻率分布直方圖和B部分數的頻數分布表．

分數區(qū)間

頻數

7

18

21

24

70

60

定義：學生對食堂的“滿意度指數”

分數

滿意度指數

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數（精確到小數點后一位）；

（2）A部為進一步改善經營，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談，再從這8人中隨機抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實踐活動，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據調研結果評選學生放心餐廳，應該評選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.

（1）若，求曲線與直線的兩個交點之間的距離；

（2）若曲線上的點到直線距離的最大值為，求的值.

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