Question

定義域為R的函數(shù)，若對任意的 t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，則k的取值范圍是________．

Answer 1

k＜-
分析：先用定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性，由奇偶性、單調(diào)性可把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為具體不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征可得k的限制不等式，解出即可．
解答：定義域R關于原點對稱，且f（-x）===-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)，
又f（x）=-=-+，則f（x）為減函數(shù)．
由f（x）為奇函數(shù)得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
由f（x）單調(diào)遞減得，t²-2t＞k-2t²，
所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，等價于t²-2t＞k-2t²恒成立，即3t²-2t-k＞0對任意t恒成立，
所以有4+12k＜0，解得k＜-．
所以k的取值范圍是：k＜-．
故答案為：k＜-．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及應用，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力．