Question

已知函數(shù)y=f（x）=

2

sin（

π

4

+2x）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及取最大、最小值時相應(yīng)x的取值集合；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）作出此函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）對于函數(shù)函數(shù)y=

2

sin（2x+

π

4

）+1，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得其最大值和最小值，并寫出取得最值是相應(yīng)的x的集合．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（3）根據(jù)五點法作圖的方法先取值，然后描點即可得到圖象．

解答： 解：（1）對于函數(shù)函數(shù)y=1+

2

sin（2x+

π

4

），當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z時，函數(shù)取得最大值為

2

+1，此時，x=kπ+

π

8

，k∈z．
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈z時，函數(shù)取得最小值為1-

2

，此時，x=kπ-

3π

8

，k∈z．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z．
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（3）解：列表：…（6分）

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	1+ 2	1	1- 2	1

描點、連線如圖所示．…（12分）

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，五點作圖法，屬于基本知識的考查．